(12分) 设，为的反函数。（1）当为自然对数的底数)时，求函数的最小值；（2）试证明：当与的图象的公切线为一、三象限角平分线时，。

题型：解答题难度：简单来源：不详

(12分) 设，为的反函数。
（1）当为自然对数的底数)时，求函数的最小值；
（2）试证明：当与的图象的公切线为一、三象限角平分线时，。

答案

（1）
（2）证明见解析

解析

（1）由有.解得
显见当时,.当时.
故在单减,在单增.
从而在处取得极小值,同时也是最小值.
（2）显见,当时,一三象限角平分线不可能是与的公切线,故.
设切点为由
有代入 (1)
从而即.
故. 有.