如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B。（1）求抛物线的函数表达式；（

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x²+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N，问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）对于一次函数y=-4x-4，
令x=0，得y=-4，
故点C的坐标为（0，-4），
令y=0，得x=-1，
故点A的坐标为（-1，0），
把A、C两点坐标代入y=x²+bx+c得
∴
解得
∴y=x²-x-4；（2）∵
∴顶点为D（1，-），
∵A、B两点关于对称轴x=1对称，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线DC交x轴于点E，
如图1，
由D（1，-）C （0，-4），
易求直线CD的解析式为y=-x-4易求E（-3，0）， 
 

S_{四边形ABDC}=S_△EDB-S_△ECA=12；

图1

（3）存在，
∵MN∥x轴，
∴△CMN∽△CAB，
∴
（a）当MP=MN或NP=MN时，
设MN=a，
如图2
即，
∴a=2，
① 当∠PMN=90°时，
∵MP∥OC，
∴△AMP∽△ACO
∴，
即，
∴OP=0.5，
∴P₁的坐标为（-0.5，0），
② 当∠PNM=90°时，
∵NP∥OC，
∴△BNP∽△BCO，
∴，
即，
∴OP=1.5，
∴P₂的坐标为（1.5，0）
（b）当∠MPN=90°，PM=PN时，
如图3，
过点P作PQ⊥MN，垂足为Q，
则PQ=QM=QN，
设PQ=d，则QM=QN=d，MN=2d
则=（已证）即 
d=，
过点N作NG⊥x轴，垂足为G，
则PQ=GN=QN=PG=
∴NG∥OC，
∴△BNG∽△BCO
∴，
即，
∴BG=1，
∴OP=OB-BG-PG=3-1-，
∴P₃的坐标为（，0），
综上（a）、（b），存在满足条件的点P有3个，坐标分别是 P₁（-0.5，0）、P₂（1.5，0）、P₃（，0）。

图3

图3