已知函数y=f(x)的反函数。定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”;若函数y
题型:解答题难度:困难来源:上海高考真题
已知函数y=f(x)的反函数。定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”;若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数,则称y=f(x)满足“a积性质”。 (1)判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1和性质”,并说明理由; (2)求所有满足“2和性质”的一次函数; (3)设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0,满足“a积性质”。求y=f(x)的表达式。 |
答案
解:(1)函数的反函数是, ∴, 而,其反函数为, 故函数不满足“1和性质”; (2)设函数满足“2和性质”,k≠0, ∴, 而, 由“2和性质”定义可知对x∈R恒成立, ∴k=-1,b∈R,即所求一次函数为f(x)=-x+b(b∈R)。 (3)设a>0,x0>0,且点在y=f(ax)图像上, 则在函数图象上, 故,可得, 令, ∴; 综上所述,,, 其反函数就是, 而, 故y=f(ax)与互为反函数。 |
举一反三
函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于点P(0,2)(如图所示),则方程f(x)=0的根是x= |
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A. 4 B. 3 C. 2 D.1 |
指数函数f(x)=ax的图像过点(-3,8),若函数y=g(x)是f(x)的反函数,则g(x)= |
[ ] |
A、log2x B、 C、-log2x D、 |
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