已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0)。(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x);(2)假设对任意x∈[ln(3a),l
题型:解答题难度:困难来源:辽宁省高考真题
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0)。 (1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x); (2)假设对任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0成立,求实数m的取值范围。 |
答案
解:(1)设y=ln(ex+a),a>0, 则ey=ex+a, ∴ex=ey-a,a>0, ∴x=ln(ey-a),x,y互换得到函数y=f(x)的反函数 f-1(x)=ln(ex-a),x∈R; f′(x)=。 (2)由|m-f-1(x)|+ln(f"(x))<0得ln(ex-a)-ln(ex+a)+x<m<ln(ex-a)+ln(ex+a)-x 设φ(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x,ψ(x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x, 于是原不等式对于x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于φ(x)<m<ψ(x)① 由, 注意到 故有 从而φ(x)与ψ(x)均在[ln(3a),ln(4a)]上单调递增 因此不等式①成立当且仅当 即。 |
举一反三
设k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R),在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点,并且这两个函数的图象交于P点,已知四边形OAPB的面积是3,则k等于 |
[ ] |
A.3 B. C. D. |
函数的图象与其反函数图象的交点坐标为( )。 |
函数(-1≤x<0)的反函数是 |
[ ] |
A. B. C. D. |
函数,x∈(1,+∞)的反函数为 |
[ ] |
A. B. C. D. |
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