(本小题满分12分)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A(,).（1）求实数α的值;（2）求证：f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.

题型：解答题难度：简单来源：不详

(本小题满分12分)
已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A(,).
（1）求实数α的值;
（2）求证：f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.

答案

（1）α=-
（2）略

解析

（1）解：∵ f(x)=xα的图象经过点A(,)，∴()α=，                  (2")
即2-α=2，解得α=-；                                                  (4")
（2）证明：任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则                               (6")
f(x2)-f(x1)=。             (9")
∵x2>x1>0，∴x1-x2<0，，于是f(x2)-f(x1)<0。             (11")
即f(x2)<f(x1)，所以f(x)= x在区间(0,+∞)内是减函数。                    (12")