在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足cosA2=255，AB•AC=3，b+c=6（I）求a的值；（II）求2sin(A+π4)sin

试题库

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足cosA2=255，AB•AC=3，b+c=6（I）求a的值；（II）求2sin(A+π4)sin

题型：解答题难度：一般来源：吉林二模
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足cos
A
2
=
2


5
5
，


AB
•


AC
=3，b+c=6
（I）求a的值；
（II）求
2sin(A+
π
4
)sin(B+C+
π
4
)
1-cos2A
的值．
答案
（I）∵cos
A
2
=
2


5
5
，
∴cosA=2cos2
A
2
-1=
3
5
，
又


AB
•


AC
=3，即bccosA=3，
∴bc=5，又b+C=6，
∴b=5，c=1或b=1，c=5，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=20，
∴a=2


5
；
（II）
2sin(A+
π
4
)sin(B+C+
π
4
)
1-cos2A

=
2sin(A+
π
4
)sin(π-A+
π
4
)
1-cos2A
=
2sin(A+
π
4
)sin(A-
π
4
)
1-cos2A

=
2sin(A+
π
4
)cos[
π
2
-(A-
π
4
)]
1-cos2A
=
-2sin(A+
π
4
)cos(A+
π
4
)
1-cos2A

=-
sin(2A+
π
2
)
1-cos2A
=-
cos2A
1-cos2A
，
∴cosA=
3
5
，∴cos2A=2cos2A-1=-
7
25
，
∴原式=-
-
7
25
1+
7
25
=
7
32
．
举一反三
已知向量


m
=( 2cos2x ， 


3
 )，


n
=( 1 ， sin2x )，函数f(x)=


m
•


n

（1）求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，
π
2
]时，函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C），c=1，ab=2


3
，且a＞b，求a，b的值．
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已知


a
=(cosθ，-sinθ)，


b
=(cosθ，sinθ)，θ∈(0，
π
2
)，且


a
•


b
=-
1
2
．
（1）求θ的大小；  
（2）若sin(x+θ)=


10
10
，x∈(
π
2
，π)，求cosx的值．
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已知锐角△ABC三个内角分别为A，B，C向量


p
=(2-2sinA，cosA+sinA)与向量


q
=(sinA-cosA，1+sinA)是共线向量．
（1）求∠A的值；
（2）求函数y=2sin2B+cos
C-3B
2
的值域．
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已知向量


a
=(sin(
x
2
+
π
12
)，  cos
x
2
)，


b
=(cos(
x
2
+
π
12
)，  -cos
x
2
)，x∈[
π
2
，  π]，函数f（x）=


a
•


b
．
（1）若cosx=-
3
5
，求函数f（x）的值；
（2）若函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，且x0∈（-2，-1），求x0的值．
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已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的图象如图所示，直线x=
3π
8
，x=
7π
8
是其两条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a）=
6
5
，且
π
8
＜α＜
3π
8
，求f（
π
8
+α）的值．魔方格
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