设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=(Ⅰ)求φ;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间;(Ⅲ)证

设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=(Ⅰ)求φ;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间;(Ⅲ)证

题型:解答题难度:简单来源:不详
设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=
(Ⅰ)求φ;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间;
(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)单调增区间为[kπ+  kπ+π],k∈Z,
(Ⅲ)见解析
解析

【错解分析】由对称轴是x=,可知2×+φ使f(x)取最值,即+φ=kπ+.(k∈Z),从而可求φ;由sinx的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由|f′(x)|=|2cos(2x+φ)|≤2,直线5x-2y+c=0的斜率为>2说明直线和f(x)的图象不能相切.
【正解】(Ⅰ)解法1:因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,
所以sin(2·+φ)=±1, 则有+φ=kπ+,k∈Z. 
因为-π<φ<0, 所以φ=-
解法2:函数y="sin" 2x图像的对称轴为x=+,k∈Z.
y=sin(2x+φ)的图像由y="sin" 2x的图像向左平移得到,
所以有+-=  k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=.
解法3:因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f(-x)=f(+x).
即sin[2(-x)+φ]=sin[2(+x)+φ],
于是有2(-x)+φ=2kπ+2(+x)+φ(舍去),
或[2(-x)+φ]+[2(+x)+φ]=2kπ+π. 
因为-π<φ<0,∴φ=
(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)知φ=-π,因此y=sin(2x-π),
由题意得2kπ-≤2x-π≤2kπ+,(k∈Z),
所以函数y=sin(2x-π)的单调增区间为[kπ+  kπ+π],k∈Z,
解法2:由y′=2cos(2x-π)≥0可得,2kπ-≤2x-π≤2kπ+  k∈Z,
所以函数y=sin(2x-π)的单调增区间为[kπ+,kπ+π]  k∈Z,
(Ⅲ)解法1:因为|y′|=|[sin(2x-π)]′|=|2cos(2x-π)|≤2,
所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[-2,2],而直线5x-2y+c=0的斜率>2,
所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-π)的图象不相切.
解法2:令F(x)=sin(2x-π)-
则F′(x)=2cos(2x-π)-,
∵-1≤cos(2x-π)≤1,F′(x)≠0.
则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-π)的图像不相切.
【点评】本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题,第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义,涉及的都是一些基本的概念,也是每个同学应该掌握的.
举一反三
函数的最小正周期为(     )
A.B.πC.2πD.4π

题型:单选题难度:简单| 查看答案
将函数的图像左移,再将图像上各点横坐标压缩到原来的,则所得到的图象的解析式为(     )
A.B.
C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
关于函数的叙述,正确的是(   )
A.在上递减偶函数B.在(0,1)上递减偶函数
C.在上递增奇函数D.在(0, 1)上递增偶函数

题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数的部分图像,则函数的解析式(  )
A.B.
C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
在△ABC中,若           
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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