解:(1)依题意,将M(2,2)代入抛物线解析式得:
2=﹣(2+2)(2﹣m),
解得m=4.
(2)令y=0,即(x+2)(x﹣4)=0,
解得x1=﹣2,x2=4,
∴B(﹣2,0),C(4,0)
在C1中,令x=0,得y=2,
∴E(0,2).
∴S△BCE=BC·OE=6.
(3)当m=4时,
易得对称轴为x=1,
又点B、C关于x=1对称.
如解答图1,连接EC,交x=1于H点,
此时BH+CH最小(最小值为线段CE的长度).
设直线EC:y=kx+b,
将E(0,2)、C(4,0)代入得:y=x+2,
当x=1时,y=,
∴H(1,).
(4)分两种情形讨论:
①当△BEC∽△BCF时,如解答图2所示.
则,
∴BC2=BE·BF.
由(2)知B(﹣2,0),E(0,2),即OB=OE,
∴∠EBC=45°,
∴∠CBF=45°,
作FT⊥x轴于点F,
则BT=TF.
∴可令F(x,﹣x﹣2)(x>0),
又点F在抛物线上,
∴﹣x﹣2=﹣(x+2)(x﹣m),
∴x+2>0(∵x>0),
∴x=2m,F(2m,﹣2m﹣2).
此时BF==(m+1),BE=,BC=m+2,
又BC2=BE·BF,
∴(m+2)2=·(m+1),
∴m=2±,
∵m>0,
∴m=+2.
②当△BEC∽△FCB时,如解答图3所示.
则,
∴BC2=ECBF.
同①,∵∠EBC=∠CFB,△BTF∽△COE,==,
∴可令F(x,-(x+2))(x>0)
又点F在抛物线上,
∴-(x+2)=﹣(x+2)(x﹣m),
∵x+2>0(∵x>0),
∴x=m+2,
∴F(m+2,-(m+2)),EC=,BC=m+2,
又BC2=ECBF,
∴(m+2)2=
整理得:m=16,显然不成立.
综合①②得,
在第四象限内,抛物线上存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似,
m=+2.
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