已知直线 y=kx+3(k<0)分别交 x轴、y 轴于A、B两点,线段 OA 上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交

已知直线 y=kx+3(k<0)分别交 x轴、y 轴于A、B两点,线段 OA 上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交

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已知直线 y=kx+3(k<0)分别交 x轴、y 轴于A、B两点,线段 OA 上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.  
  (1)当 k=-1时,线段OA上另有一动点Q 由点A 向点O运动,它与点 P 以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图 1).    
 ①直接写出 t=1秒时 C、Q两点的坐标;  
 ②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB 相似,求t的值.  
  (2)当时,设以C为顶点的抛物线y=+n与直线AB的另一交点为D(如图 2).   
  ①求CD的长;
  ②设△COD的OC边上的高为 h,当 t为何值时h的值最大?
答案
解:(1)①C(1,2),Q(2,0).    
 ②由题意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0)
分两种情形讨论:
情形一:当△AQC∽△AOB时,
AQC =AOB= 90°,
∴ CQ⊥OA,
∵CP⊥OA,
∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3-t= t,
∴t=1.5;
情形二:当△ACQ∽△AOB时,
ACQ=AOB=90°,
∵OA = OB = 3,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴△ACQ是等腰直角三角形,
∵CP⊥OA,
∴AQ= 2CP,即 t = 2(-t +3),
∴t = 2,
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒;
(2)①由题意得:C(t,-t+ 3)
∴以C为顶点的抛物线解析式是y=
=-x+3,
解得:
过点D作DE⊥CP于点E,则DEC= AOB =90°,DE// OA,
EDC=OAB,
∴△DEC∽△AOB,

∵AO= 4,AB = 5,DE=t-
∴CD=
②∵CD=,CD边上的高=

为定值;要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短
因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为BCO=90°,
AOB=90°,
COP=90°-BOC=OBA,
又∵CP⊥OA,

,OP=,即t=
∴当t为秒时,h的值最大。
举一反三
如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形 BCED 的面积为 
[     ]
A.2  
B.3  
C. 4  
D.6
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如图,△ABC与△DEF 均为等边三角形,O为BC、EF 的中点. 则 AD:BE的值为
[     ]
A. :1    
B. :1    
C. 5:3    
D. 不确定
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如图,△ABC中,DE//BC,DE分别交 边AB、AC于D、E两点,若AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC的面积比为(    ).
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如图,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB =2AD,∠BAD = 45°,AC与DE相交于点 F. 则△AEF的面积等于(    ) (结果保留根号).
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如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD= 30 cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH. 使它的一边EF在BC上,顶点 G、H分别在AC,AB 上,AD与HG 的交点为M.     
(1)求证:=
(2)求这个矩形EFGH 的周长.
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