如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40 cm，AD= 30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH.

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如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40 cm，AD= 30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH.

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如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40 cm，AD= 30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH. 使它的一边EF在BC上，顶点 G、H分别在AC，AB 上，AD与HG 的交点为M.     
(1)求证：=；
(2)求这个矩形EFGH 的周长.
答案
解 ：(1)∵四边形EFGH为矩形.   
 ∴EF//GH，   
 ∴∠AHG=∠ABC，    
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴=    
(2)由(1)得：=；
设 HE=x,则 HG=2x，  
AM=AD-DM=AD-HE=30-x，    
可得，=，
解得：x= 12，2x=24，    
所以矩形 EFGH的周长为2×(12 +24)= 72(cm)
举一反三
(1)如图 1，在△ABC中,点D，E，Q 分别在AB，AC，BC上，且 DE//BC，AQ交DE 于点P. 求证：=
(2)如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.    
①如图 2，若AB=AC=1. 直接写出 MN的长；
②如图 3，求证 MN2=DM·EN.
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如图，在等边△ABC 中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为    
[     ]
A.8  
B.15  
C.9  
D.12
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在□ABCD中,点 E为AD的中点，连接BE，交AC于点F. 则AF：CF等于   
[     ]
A. 1：2    
B. 1：3  
C. 2：3  
D. 2：5
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如图所示，过点F(0，1)的直线y= kx+b与抛物线 y=交于M(xl, y1)和 N(x2,y2)两点(其中 xl<0，x2>0).     
(1)求b的值.    
(2)求x1. x2 的值.    
(3)分别过M、N作直线l：y= -1 的垂线，委足分别是M1、N1, 判断△M1FN1 的形状，并证明你的结论.    
(4)对于过点F1 的任意直线，是否存在一条定直线m，使m与以 MN为直径的圆相切.如果有，请写出这条直线 m的解析式；如果没有，请说明理由.
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如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0），抛物线 经过A、C两点，与AB边交于点D.     
（1）求抛物线的函数表达式；    
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S. 
①求S关于m 的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。
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