已知x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)判断f(x)的奇偶性;(2)若x>0时,f(x)>0,证明:f(x)在R上为增函数;(3)在条件(2)下,
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)判断f(x)的奇偶性; (2)若x>0时,f(x)>0,证明:f(x)在R上为增函数; (3)在条件(2)下,若f(1)=2,解不等式:f(x2+1)-f(2x+5)<4. |
答案
(1)∵x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y) 令x=y=0,得f(0)=0;又令y=-x得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0 所以f(-x)=-f(x),因此f(x)是R上的奇函数;…(4分) (2)证明:设x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0 即f(x2)>f(x1),因此f(x)在R上为增函数;…(9分) (3)∵f(1)=2,∴f(2)=2f(1)=4…(11分) 由f(x2+1)-f(2x+5)<4,可得f(x2+1)<f(2x+5)+f(2) ∴f(x2+1)<f(2x+7) 由(2)可得x2+1<2x+7,即x2-2x-6<0 解得1-<x<1+…(14分) |
举一反三
已知函数f(x)定义在区间(-1,1)上,f()=-1,且当x,y∈(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f().又数列{an}满足,a1=,an+1=. (I )证明:f(x)在(-1,1)上是奇函数 ( II )求f(an)的表达式; (III)设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,若T2n+1-Tn≤(其中m∈N*)对N∈N*恒成立,求m的最小值. |
已知函数f(x)=是连续函数,则实数a的值是 ______. |
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射,点P在映射f下的象为点Q,记作Q=f(P). 设P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一个圆,使所有的点Pn(xn,yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点Pn(xn,yn)的一个收敛圆.特别地,当P1=f(P1)时,则称点P1为映射f下的不动点. (Ⅰ) 若点P(x,y)在映射f下的象为点Q(2x,1-y). ①求映射f下不动点的坐标; ②若P1的坐标为(1,2),判断点Pn(xn,yn)(n∈N*)是否存在一个半径为3的收敛圆,并说明理由. (Ⅱ) 若点P(x,y)在映射f下的象为点Q(+1,),P1(2,3).求证:点Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一个半径为的收敛圆. |
已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且函数f(2x+1)的周期为5,若f(1)=5,则f(2009)+f(2010)的值为( ) |
已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈(0,)时,f(x)=sinπx,f()=,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( ) |
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