已知函数f(x)=alnx+bx2图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.(I)求函数y=f(x)的解析式;(II)函数g(x)=f(x)+m
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已知函数f(x)=alnx+bx2图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.(I)求函数y=f(x)的解析式;(II)函数g(x)=f(x)+m
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=alnx+bx
2
图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.
(I)求函数y=f(x)的解析式;
(II)函数g(x)=f(x)+m-ln4,若方程g(x)=0在
[
1
e
,2]
上恰有两解,求实数m的取值范围.
答案
(I)求导函数可得
f′(x)=
a
x
+2bx
(x>0)
∵函数f(x)=alnx+bx
2
图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0
∴f′(1)=2,f(1)=-1
∴
a+2b=2
b=-1
∴a=4,b=-1
∴f(x)=4lnx-x
2
;
(II)函数g(x)=f(x)+m-ln4=4lnx-x
2
+m-ln4(x>0),则
g′(x)=
4
x
-2x
(x>0)
∴当x
∈[
1
e
,
2
)
时,g′(x)>0;当x
∈(
2
,2]
时,g′(x)<0;
∴函数在
[
1
e
,
2
)
上单调增,在
(
2
,2]
上单调减
∵方程g(x)=0在
[
1
e
,2]
上恰有两解,
∴
g(
1
e
)≤0,g(
2
)>0,g(2)≤0
∴
-4-
1
e
2
+m-ln4≤0
-2+m>0
4ln2-4+m-ln4≤0
解得2<m≤4-2ln2
举一反三
已知函数
g(x)=
1
3
a
x
3
+
1
2
x
2
+b,f(x)=g′(x)
e
x
,其中e为自然对数的底数
(I)若函数g(x)在点(1,g(1))处的切线与直线2x-y+1=0垂直,求实数a的值;
(II)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求实数a的取值范围;
(III)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.
题型:解答题
难度:一般
|
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若关于x的方程mx
2
+(m-3)x+1=0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1]
B.[0,1)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
题型:单选题
难度:一般
|
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设定义域为R的函数
f(x)=
|lgx|,x>0
-
x
2
-2x,x≤0
,
则函数f(x)的零点为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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求一切实数p,使得三次方程5x
3
-5(p+1)x
2
+(71p-1)x+1=66p的三个根均为正整数.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,
f′(x)+
f(x)
x
>0
,则关于x的函数
g(x)=f(x)+
1
x
的零点个数为( )
A.1
B.2
C.0
D.0或 2
题型:单选题
难度:简单
|
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