求一切实数p,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三个根均为正整数.
题型:解答题难度:一般来源:不详
求一切实数p,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三个根均为正整数. |
答案
x=1是方程的一个根.于是只要考虑二次方程5x2-5px+66p-1=0的两个根为正整数即可. 设此二正整数根为u、v.则由韦达定理知,
消去p,得5uv-66(u+v)=-1.同乘以5:52uv-5×66u-5×66v=-5. ∴(5u-66)(5v-66)=662-5=4351=19×229.由于u、v均为整数,故5u-66、5v-66为整数. ∴ 或 或 或 ∴其中使u、v为正整数的,只有u=17,v=59这一组值.此时p=76. |
举一反三
已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f′(x)+>0,则关于x的函数g(x)=f(x)+的零点个数为( ) |
(1)设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,证明:数列{Sn}不是等比数列. (2)已知f(x)=ax+(a>1),证明:方程f(x)=0没有负根. |
已知直线y=t与函数f(x)=3x及函数g(x)=4•3x的图象分别相交于A、B两点,则A、B两点之间的距离为______. |
关于x的方程x2+mx+2=0(m∈R)的一个根是1+ni(n∈R+),则m+n=______. |
在区间[0,π]中,三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______. |
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