由于函数g(x)=f(x)+,可得x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的, 故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点. 由于当x≠0时,f′(x)+>0, ①当x>0时,(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+ )>0, 所以,在(0,+∞)上,函数x•g(x)单调递增函数. 又∵[xf(x)+1]=1,∴在(0,+∞)上,函数 x•g(x)=xf(x)+1>1恒成立, 因此,在(0,+∞)上,函数 x•g(x)=xf(x)+1 没有零点. ②当x<0时,由于(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+ )<0, 故函数 x•g(x)在(-∞,0)上是递减函数,函数 x•g(x)=xf(x)+1>1恒成立, 故函数 x•g(x)在(-∞,0)上无零点. 综上可得,函g(x)=f(x)+在R上的零点个数为0, 故选C. |