已知函数g(x)=13ax3+12x2+b,f(x)=g′(x)ex,其中e为自然对数的底数(I)若函数g(x)在点(1,g(1))处的切线与直线2x-y+1=

已知函数g(x)=13ax3+12x2+b,f(x)=g′(x)ex,其中e为自然对数的底数(I)若函数g(x)在点(1,g(1))处的切线与直线2x-y+1=

题型:解答题难度:一般来源:济宁一模
已知函数g(x)=
1
3
ax3+
1
2
x2+b,f(x)=g′(x)ex
,其中e为自然对数的底数
(I)若函数g(x)在点(1,g(1))处的切线与直线2x-y+1=0垂直,求实数a的值;
(II)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求实数a的取值范围;
(III)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.
答案
(I)由题意得,g′(x)=ax2+x,
∵在点(1,g(1))处的切线与直线2x-y+1=0垂直,
∴在点(1,g(1))处的切线斜率为-
1
2
,即g′(1)=a+1=-
1
2

解得a=-
3
2

(II)由(I)得,f(x)=g′(x)ex=(ax2+x)ex
则f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex
∵f(x)在[-1,1]上是单调增函数,
∴f′(x)=[ax2+(2a+1)x+1]ex≥0在[-1,1]上恒成立,
即ax2+(2a+1)x+1≥0在[-1,1]上恒成立,
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,
当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;(6分)
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2
因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)•g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点,故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2,因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,
因为g(0)=1>0,必须满足





g(1)≥0
g(-1)≥0
,即





3a+2≥0
-a≥0
,得-
2
3
≤a<0

综上可知,a的取值范围是[-
2
3
,0],
(III)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,
所以原方程等价于ex-
2
x
-1
=0,令h(x)=ex-
2
x
-1

因为h′(x)=ex+
2
x2
>0对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,
所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,(13分)
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-
1
3
<0,h(-2)=e-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,
所以整数k的所有值为{-3,1}.
举一反三
若关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是(  )
A.(0,1]B.[0,1)C.(-∞,1)D.(-∞,1]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设定义域为R的函数f(x)=





|lgx|,x>0
-x2-2x,x≤0
则函数f(x)的零点为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
求一切实数p,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三个根均为正整数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f′(x)+
f(x)
x
>0
,则关于x的函数g(x)=f(x)+
1
x
的零点个数为(  )
A.1B.2C.0D.0或 2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
(1)设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,证明:数列{Sn}不是等比数列.
(2)已知f(x)=ax+
x-2
x+1
(a>1),证明:方程f(x)=0没有负根.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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