设f（x）=sin2x+mcos2x，若对一切x∈R，都有f（x）≤f(π8)，则f(π24)=______．

题型：不详难度：来源：

设f（x）=sin2x+mcos2x，若对一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

8

)，则f(

π

24

)=______．

答案

由题意知：
f（x）=sin2x+mcos2x=

m2+1

sin（2x+φ），（sinφ=

m

m2+1

，cosφ=

1

m2+1

）
由题意得：当x=

π

8

时函数f（x）=sin2x+mcos2x取到最值±

m2+1

，
将x=

π

8

代入可得：sin（2×

π

8

）+mcos（2×

π

8

）=

2

2

(m+1)=±

m2+1

，即m=1
∴f（x）=sin2x+mcos2x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
则f（

π

24

）=

2

sin（2×

π

24

+

π

4

）=

2

sin

π

3

=

6

2

．
故答案为：

6

2