过点A（-4，0）向椭圆引两条切线，切点分别为B，C，且△ABC为正三角形。 （Ⅰ）求ab最大时，椭圆的方程；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为F，过F的直线

题型：0103 模拟题难度：来源：

过点A（-4，0）向椭圆引两条切线，切点分别为B，C，且△ABC为正三角形。
（Ⅰ）求ab最大时，椭圆的方程；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为F，过F的直线与y轴交于点M，与椭圆的一个交点为Q，且，求直线的方程。

答案

解：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：，
联立方程组，

即，

因为，所以，即，
所以当时，ab取最大值，解得，
故椭圆的方程为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设直线方程为：，

当时，由定比分点公式可得：
，
代入椭圆，解得，
∴直线方程为；
同理，当时，无解。
故直线方程为。