试题分析:(I) 当 时,可求出 从而可得 即 因而可确定 是首项为 公比为 的等比数列,据此求出其通项公式; (II)先求出当 时,
, 因为b1=1也满足上式,因而当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012056-14819.png) 然后根据 ,从得可求出 . (3) 由 得:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012057-48509.png) 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012057-41387.png) 从而得到 是首项为 公比为 的等比数列,故 , 然后可得 = , 通过分组求和即可求出Sn,到此问题基本得以解决. (1)当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012054-26582.png)
即 分 故数列 是首项为 公比为 的等比数列. 故数列 的通项公式为 ………………………4分 (2)由(1)得,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012059-13672.png) 当 时,有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012059-86337.png)
…………………6分
也满足上式,故当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012056-14819.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012100-77605.png) ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012100-40106.png)
即 …………………………8分 (3)解法一:由 得:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012057-48509.png) 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012057-41387.png)
是首项为 公比为 的等比数列,故 ………………9分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012102-79292.png) =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012102-58223.png) = ………………………11分 因此, - =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012102-26679.png) -![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012053-36461.png) =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012103-79101.png) =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012103-92595.png) =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012103-65071.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012059-82719.png) < .……………………14分 解法二:同解法一得 ……………………9分
……………………11分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012102-79292.png) =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012102-58223.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012104-24364.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012104-81866.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012104-85060.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012104-65197.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190925/20190925012059-82719.png) < .…………………14分(其他解法酌情给分) 点评:(1)等差等比数列的定义是判定一个数列是否是等差或等比数列的依据,要勿必掌握.(2)三角函数公式的变形也是解决本题的基础,因此要熟记常见的变形公式如:
,还有 等. (3)在比较两个数或式子大小不易直接比较时,作差比较法是常用也是很有效的方法之一. |