设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D

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设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．

答案

（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC
∴2sinBcosA=sin（A+C）
∵A+C=π-B
∴sin（A+C）=sinB＞0
∴2sinBcosA=sinB
∴cosA=

1

2

∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=

π

3

∴a²=b²+c²-2bccosA=3
∴b²=a²+c²
∴B=

π

2

∵D为BC的中点，
∴AD=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．