设是虚数，是实数，且。（1）求||的值以及的实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数。

题型：吉林省期中题难度：来源：

设是虚数，是实数，且。
（1）求||的值以及的实部的取值范围；
（2）若，求证：为纯虚数。

答案

解：（1）设，
则，
因为 z₂是实数，b≠0，
于是有a²+b²=1，即|z₁|=1，
还可得z₂=2a，
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，解得，
即z₁的实部的取值范围是。
（2），
因为a∈，b≠0，
所以为纯虚数。