在无穷数列中,,对于任意,都有,. 设, 记使得成立的的最大值为.(1)设数列为1,3,5,7,,写出,,的值;(2)若为等差数列,求出所有可能的数列;(3)设

在无穷数列中,,对于任意,都有,. 设, 记使得成立的的最大值为.(1)设数列为1,3,5,7,,写出,,的值;(2)若为等差数列,求出所有可能的数列;(3)设

题型:不详难度:来源:
在无穷数列中,,对于任意,都有. 设, 记使得成立的的最大值为.
(1)设数列为1,3,5,7,,写出的值;
(2)若为等差数列,求出所有可能的数列
(3)设,求的值.(用表示)
答案
(1);(2);(3)
解析

试题分析:(1)根据使得成立的的最大值为,则,则,则,这样就写出的值;(2)若为等差数列,先判断,再证明,即可求出所有可能的数列;(3)确定,依此类推,发现规律,得出,从而求出的值.
(1) .                                       3分
(2)由题意,得
结合条件,得.                                       4分
又因为使得成立的的最大值为,使得成立的的最大值为
所以.                                     5分
,则.
假设,即
则当时,;当时,.
所以.
因为为等差数列,
所以公差
所以,其中.
这与矛盾,
所以.                                                     6分
又因为
所以
为等差数列,得,其中.                          7分
因为使得成立的的最大值为
所以
,得.                                              8分
(3)设
因为
所以,且
所以数列中等于1的项有个,即个;                 9分

, 且
所以数列中等于2的项有个,即个;                 10分
以此类推,数列中等于的项有个.                  11分
所以


.
.                                  13分
举一反三
已知数列满足,给出下列命题:
①当时,数列为递减数列
②当时,数列不一定有最大项
③当时,数列为递减数列
④当为正整数时,数列必有两项相等的最大项
请写出正确的命题的序号____
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已知数列的各项均为正数,记,,
 .
(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.
(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.
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设数列,则对任意正整数都成立的是(   )
A.B.
C.D.

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如果数列同时满足:(1)各项均不为,(2)存在常数k, 对任意都成立,则称这样的数列为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问:
(1)各项均不为0的等差数列是否为“类等比数列”?说明理由.
(2)若数列为“类等比数列”,且(a,b为常数),是否存在常数λ,使得对任意都成立?若存在,求出λ;若不存在,请举出反例.
(3)若数列为“类等比数列”,且(a,b为常数),求数列的前n项之和;数列的前n项之和记为,求.
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对于正项数列,定义的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为,则数列的通项公式为________
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