试题分析:(1)将数列 的递推式 进行变形得 ,从而利用定义得到数列 是等比数列;(2)在(1)的基础上先求出数列 的通项公式,再利用累乘法求数列 的通项公式;(3)在(2)的基础上,将 代入数列 的通项公式,从而求出数列 的通项公式,并根据数列 的通项公式 ,对 、 以及 进行三种情况的分类讨论,前两种情况利用等差数列求和即可,在最后一种情况下利用错位相减法求数列 的前 项和 ,最后用分段的形式表示数列 的前 项和 . 试题解析:(1)由 ,得 . 令 ,则 , .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191009/20191009104504-69608.png) , , (非零常数),
数列 是等比数列. (2) 数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191009/20191009104506-95311.png) ,即 . 当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191009/20191009104507-37643.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191009/20191009104504-69608.png) 满足上式, . (3) ,
当 时, .
, ①
②
当 ,即 时,① ②得:
, 即 . 而当 时, , 当 时, . 综上所述,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191009/20191009104502-26982.png) |