试题分析:(Ⅰ)由条件可得数列隔项成等差数列,从而分别得到n为奇数和偶数时的通项公式,合并即得数列的通项公式.再由数列前n项的积为,由再验证时的情况,即可得到的通项公式;(Ⅱ)先求出的表达式,再假设成等差数列,由等差中项的知识,,代入发现等式恒不成立,从而得到不存在常数a 使数列成等差数列的结论;(Ⅲ)由上问可知即证明存在,满足对任意自然数时,,易知存在m=4使得当时,恒成立.接着用数学归纳法证明之. 试题解析:(Ⅰ)由题知,∴,∴ 即数列隔项成等差数列, 1分 又 ∴当n为奇数时,, 当n为偶数时, 2分 ∴对一切 3分 又,当时,且时满足上式, ∴对一切 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列成等差数列,∴ ∴ 7分 若存在常数a,使得成等差数列,则在时恒成立 即 ∴不存在常数a 使数列成等差数列 9分 (Ⅲ)存在使得当时,恒成立, 即当时,,下面用用数学归纳法证明: ①当时,. ②假设时,成立,即. 则当,,所以时,成立. 综合①②得,成立.所以当时,. 13分 |