数列的前项和为,若,点在直线上.⑴求证:数列是等差数列;⑵若数列满足,求数列的前项和;⑶设,求证:.

数列的前项和为,若,点在直线上.⑴求证:数列是等差数列;⑵若数列满足,求数列的前项和;⑶设,求证:.

题型:不详难度:来源:
数列的前项和为,若,点在直线上.
⑴求证:数列是等差数列;
⑵若数列满足,求数列的前项和
⑶设,求证:
答案
(1)证明过程详见解析;(2);(3)证明过程详见解析.
解析

试题分析:本题考查等比数列、等差数列、不等式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力.第一问,由于点在直线上,所以将点代入得到的关系式,两边同除以,凑出新的等差数列,并求出首项个公差;第二问,先利用第一问的结论求出的通项公式,得到的表达式,由,将得到的结论代入到中,用错位相减法求,在解题过程中用到了等比数列的前n项公式;第三问,先将第二问的结论代入,利用分组求和的方法先求出,当时,具体比较结果与的大小,当时,得到的数都比的结果大,所以都大于,所以不等式成立.
试题解析:(1)∵点在直线)上,

两边同除以,得
于是,是以3为首项,1为公差的等差数列.
(2)∵,∴
∴当时,
时,







.
(3)∵




时,
时,
时,
所以.
举一反三
在等差数列中,,则公差等于(  )
A.1B.C.2D.-2

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数列满足并且,则数列的第100项为(   )
A.B.C.D.

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已知为等差数列,,则                       .
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已知,各项均为正数的数列满足,若,则     .
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设等差数列的前项和为.且
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足:,求数列的前项和
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