已知定义在R上的函数和数列满足下列条件:,,其中a为常数,k为非零常数.(Ⅰ)令,证明数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)当时,求.

已知定义在R上的函数和数列满足下列条件:,,其中a为常数,k为非零常数.(Ⅰ)令,证明数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)当时,求.

题型:不详难度:来源:
已知定义在R上的函数和数列满足下列条件:
,其中a为常数,k为非零常数.
(Ⅰ)令,证明数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)当时,求.
答案
(Ⅰ)证明:见解析;
(Ⅱ)数列的通项公式为   
(Ⅲ)当时, 
解析
本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
(1)由题意知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),得an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),由此可知an-an-1=k(an-an-1),(n=2,3,4,),得k=1.
(2)由b1=a2-a1≠0,知b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.因此bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)═kn-1a2-a1)≠0,由此可知数列{bn}是一个公比为k的等比数列.
(3){an}是等比数列的充要条件是f(x)=kx(k≠1);先进行充分性证明:若f(x)=kx(k≠1),则{an}是等比数列.再进行必要性证明:若{an}是等比数列,f(x)=kx(k≠1).
(Ⅰ)证明:由,可得
.由数学归纳法可证
.
由题设条件,当
因此,数列是一个公比为k的等比数列.
(Ⅱ)解:由(1)知,
时,
时,   .
  
所以,当时,      .上式对也成立. 所以,数列的通项公式为. 当
   。上式对也成立,所以,数列的通项公式为   
(Ⅲ)解:当时, 
举一反三
已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根,且
(I)求;        
(II)求数列的前项和
(Ⅲ)记
求证:
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数列,的前项和为(   )
A.B.
C.D.

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设数列的前n项和为,点均在函数y=3x-2的图像上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
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已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N) 顺次为一次函数图象上的点, 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N) 顺次为x轴正半轴上的点,其中x1=a(0<a<1), 对于任意n∈N,点An、Bn、An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形.
⑴求{yn}的通项公式,且证明{yn}是等差数列;
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数(不必证明),并求出数列{xn}的通项公式;
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在, 请说明理由.
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在圆内,过点条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项,最长弦为,若公差,则的取值集合为.
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