(本小题满分14分)有个首项都是1的等差数列,设第个数列的第项为,公差为,并且成等差数列.(Ⅰ)证明(,是的多项式),并求的值(Ⅱ)当时,将数列分组如下:(每组

(本小题满分14分)有个首项都是1的等差数列,设第个数列的第项为,公差为,并且成等差数列.(Ⅰ)证明(,是的多项式),并求的值(Ⅱ)当时,将数列分组如下:(每组

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
个首项都是1的等差数列,设第个数列的第项为,公差为,并且成等差数列.
(Ⅰ)证明的多项式),并求的值
(Ⅱ)当时,将数列分组如下:
(每组数的个数构成等差数列).
设前组中所有数之和为,求数列的前项和
(Ⅲ)设是不超过20的正整数,当时,对于(Ⅱ)中的,求使得不等式
成立的所有的值.
答案
解:(Ⅰ)由题意知.

同理,,…,

又因为成等差数列,所以.
,即是公差为的等差数列.
所以,
,则,此时. ………4分
(Ⅱ)当时,
数列分组如下:
按分组规律,第组中有个奇数,
所以第1组到第组共有个奇数.
注意到前个奇数的和为
所以前个奇数的和为.
即前组中所有数之和为,所以
因为,所以,从而
所以 .
.


.
所以 .         ………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)得.
故不等式就是
考虑函数
时,都有,即

注意到当时,单调递增,故有.
因此当时,成立,即成立.
所以,满足条件的所有正整数.    …………………………14分
解析

举一反三
(本小题满分14分)过点作曲线的切线,切点为,过轴的垂线交 轴于点,又过作曲线C的,切点为,过轴的垂线交轴于点,…,依次下去得到一系列点,…,设点的横坐标为.(1)求数列的通项公式;
(2)求和;(3)求证:
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若数列中,,则取最大值时等于                           (    )
A.13B.14C.15D.14或15

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是等差数列,首项,则使前n项和成的
最大自然数n是:                                                            (  )
A.4019B.4020C.4021D.4022

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.已知数列中,
则数列的第n项=_____.
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设数列的前项和为,关于数列有下列四个命题:
①若既是等差数列又是等比数列,则
②若,则是等比数列;
③若,则是等差数列;
④若,则无论取何值时一定不是等比数列。其中正确命题的序号是       
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