设无穷数列的首项,前项和为(),且点在直线上(为与无关的正实数).(1)求证:数列()为等比数列;(2)记数列的公比为,数列满足,设,求数列的前项和;(3)(理
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设无穷数列的首项,前项和为(),且点在直线上(为与无关的正实数).(1)求证:数列()为等比数列;(2)记数列的公比为,数列满足,设,求数列的前项和;(3)(理
题型:不详
难度:
来源:
设无穷数列
的首项
,前
项和为
(
),且点
在直线
上(
为与
无关的正实数).
(1)求证:数列
(
)为等比数列;
(2)记数列
的公比为
,数列
满足
,设
,求数列
的前
项和
;
(3)(理)若(1)中无穷等比数列
(
)的各项和存在,记
,求函数
的值域.
答案
(1)证明见解析;(2)
;(3)
.
解析
试题分析:(1)把已知条件变形为
,要化为数列项的关系,一般方法是用
代
得
,两式相减,得
,从而得前后项比
为常数,只是还要注意看看是不是有
,如有则可证得
为等比数列;(2)由
定义可知数列
是等差数列,
(
是数列
公差),从而数列
也是等差数列,其前
和易得,这说明我们在求数列和时,最好能确定这个数列是什么数列;(3)首先无穷等比数列
的和存在说明公比
满足
,从而得出
,无穷等比数列的和公式得
,这是一次分式函数,其值域采用分离分式法,即
,易得
.
试题解析:(1)由已知,有
,
当
时,
; 2分
当
时,有
,
两式相减,得
,即
,
综上,
,故数列
是公比为
的等比数列; 4分
(2)由(1)知,
,则
于是数列
是公差
的等差数列,即
, 7分
则
=
10分
(3)(理)由
解得:
。 12分
14分
,当
时,
,函数
的值域为
。 16分
项和
与
的关系,等比数列的定义;(2)等差数列的前
项和;(3)无穷等比数列的和及一次分式函数的值域.
举一反三
已知数列
(n
)的公差为3,从
中取出部分项(不改变顺序)a
1
,a
4
,a
10
,…组成等比数列,则该等比数列的公比是
题型:不详
难度:
|
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设无穷数列
的首项
,前
项和为
(
),且点
在直线
上(
为与
无关的正实数).
(1)求证:数列
(
)为等比数列;
(2)记数列
的公比为
,数列
满足
,设
,求数列
的前
项和
;
(3)若(2)中数列{Cn}的前n项和T
n
当
时不等式
恒成立,求实数a的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
的前
项和为
,且满足:
,
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,数列
的最小项是第几项,并求出该项的值.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
满足:当
(
)时,
,
是数列
的前
项和,定义集合
是
的整数倍,
,且
,
表示集合
中元素的个数,则
,
.
题型:不详
难度:
|
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年的人口总数
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题型:不详
难度:
|
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