试题分析:(1)证明一个数列为等比或等差数列,一般都是从定义入手,本小题首先需要将已知条件变形为,由于,则(常数),然后根据等比数列的定义可知数列是以为首项,公比为的等比数列,即(); (2)本小题首先假设在数列中存在连续三项,,(,)成等差数列,则,代入通项公式可得,即,,成等差数列. (3)本小题首先根据,,成等差数列,则,于是可得,然后通过不定方程的分类讨论可得结论 试题解析:(1)将已知条件变形为 1分 由于,则(常数) 3分 即数列是以为首项,公比为的等比数列 4分 所以,即()。 5分 (2)假设在数列中存在连续三项成等差数列, 不妨设连续的三项依次为,,(,), 由题意得,, 将,,代入上式得 7分 8分 化简得,,即,得,解得 所以,存在满足条件的连续三项为,,成等差数列。 10分 (3)若,,成等差数列,则 即,变形得 11分 由于若,且,下面对、进行讨论: ① 若,均为偶数,则,解得,与矛盾,舍去; ② 若为奇数,为偶数,则,解得; ③ 若为偶数,为奇数,则,解得,与矛盾,舍去; ④ 若,均为奇数,则,解得,与矛盾,舍去; 15分 综上①②③④可知,只有当为奇数,为偶数时,,,成等差数列,此时满足条 件点列落在直线(其中为正奇数)上。 16分(不写出直线方程扣1分) |