设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，，其中为实数.（1）若，且，，成等比数列，证明：；（2）若是等差数列，证明.

题型：不详难度：来源：

设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，，其中为实数.
（1）若，且，，成等比数列，证明：；
（2）若是等差数列，证明.

答案

见解析

解析

[证明]（1）由题设，，由，得，又，，成等比数列，∴，即，化简得，∵，∴.
因此对于所有的，
从而对于所有的，.
（2）设数列的公差为，则，即，，
代入的表达式，整理得，对于所有的有，
令，，，则对于所有的有，
在上式中取，
∴，
从而有，由②③得，代入①得，
从而，即，，，
若，则由得，与题设矛盾，∴，又，∴.
【考点定位】本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识，考查分析转化以及推理论证能力.