如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）若MN

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）若MN的延长线交正方形外角平分线CP于点P，当点M在BC边上如图位置时，请你在AB边上找到一点H，使得AH=MC，连接HM，进而判断AM与PM的大小关系，并说明理由；
（3）若BM=1，则梯形ABCN的面积为（     ）；设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（4）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时BM的值．

答案

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AMB+∠BAM=90°，又∴AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，∴Rt_△ABM∽Rt_△MCN；
（2）AM=PM．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，∴AH=MC，
∵BH=BM，
∴∠BMH=∠BHM=45°，
∠AHM=135°，∵AM⊥MN，∴∠2+∠3+∠BMH=90°，
∵∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=∠BHM=45°，∴∠1=∠3，
∵CP是正方形外角平分线，∴∠PCN=45°，
∴∠PCM=90°+45°=135°，
∴∠AHM=∠MCP，在△AHM和△MCP中，
∵，
∴△AHM∽△MCP（ASA），
∴AM=PM；
（3）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=1，
∴CM=4-1=3，
∵Rt_△ABM∽Rt_△MCN，∴，即，
∴CN=，
∴S_梯形ABCN=（AB+CN）BC=×（4+）×4=；
∴正方形ABCD边长为4，BM=x，∴CM=4﹣x，
∴Rt_△ABM∽Rt_△MCN，∴，即，∴CN=，
∴y=S_梯形ABCN=（AB+CN）BC=×（4+）×4=﹣x²+2x+8=﹣（x﹣2）²+10，
∵当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；
（4）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt_△ABM∽Rt_△AMN，必须有，即，
∵Rt_△ABM∽Rt_△MCN，
∴，∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt_△ABM∽Rt_△AMN，此时BM=2
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