已知函数f(x)的图象经过点(1,λ),且对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x)+2.数列{an}满足.(1)当x为正整数时,求f(n)的表达式;(2)设λ=
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已知函数f(x)的图象经过点(1,λ),且对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x)+2.数列{an}满足.(1)当x为正整数时,求f(n)的表达式;(2)设λ=
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)的图象经过点(1,λ),且对任意x∈R,
都有f(x+1)=f(x)+2.数列{a
n
}满足
.
(1)当x为正整数时,求f(n)的表达式;(2)设λ=3,求a
1
+a
2
+a
3
+…+a
2n
;
(3)若对任意n∈N
*
,总有a
n
a
n+1
<a
n+1
a
n+2
,求实数λ的取值范围.
答案
(1)2
2n
+n﹣2.(2)λ的取值范围为(﹣2,+∞).
解析
试题分析:解:
(1)记b
n
=f(n),由f(x+1)=f(x)+2有b
n+1
﹣b
n
=2对任意n∈N
*
都成立,
又b
1
=f(1)=λ,所以数列b
n
为首项为λ公差为2的等差数列, 2分
故b
n
=2n+λ﹣2,即f(n)=2n+λ﹣2. 4分
(2)由题设λ=3
若n为偶数,则a
n
=2
n
﹣1
;若n为奇数且n≥3,则a
n
=f(a
n
﹣1
)=2a
n
﹣1
+λ﹣2=2•2
n
﹣2
+λ﹣2=2
n
﹣1
+λ﹣2=2
n
﹣1
+1
又a
1
=λ﹣2=1,
即
- 6分
a
1
+a
2
+a
3
++a
2n
=(a
1
+a
3
++a
2n
﹣
1
)+(a
2
+a
4
++a
2n
)=(2
0
+2
2
++2
2n
﹣
2
+n﹣1)+(2
1
+2
3
++2
2n
﹣
1
)
=(1+2
1
+2
2
++2
2n
﹣
1
)+n﹣1=2
2n
+n﹣2. 8分
(3)当n为奇数且n≥3时,a
n+1
a
n+2
﹣a
n
a
n+1
=a
n+1
(a
n+2
﹣a
n
)=2
n
[2
n+1
+λ﹣2﹣(2
n
﹣
1
+λ﹣2)]=3•2
2n
﹣
1
>0; 10分
当n为偶数时,a
n+1
a
n+2
﹣a
n
a
n+1
=a
n+1
(a
n+2
﹣a
n
)=(2
n
+λ﹣2)(2
n+1
﹣2
n
﹣
1
)]=3•2
n
﹣
1
(2
n
+λ﹣2),因为a
n
a
n+1
<a
n+1
a
n+2
,所以2
n
+λ﹣2>0,
∵n为偶数,∴n≥2,
∵2
n
+λ﹣2单增∴4+λ﹣2>0,即λ>﹣2
故λ的取值范围为(﹣2,+∞). 12分
点评:解决的关键是利用数列的通项公式以及数列的单调性来得到证明,属于中档题。
举一反三
各项均为正数的数列
前
项和为
,且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)已知公比为
的等比数列
满足
,且存在
满足
,
,求数列
的通项公式.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)求:
的值;
(2)类比等差数列的前
项和公式的推导方法,求:
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知
,数列
满足
,数列
满足
;又知数列
中,
,且对任意正整数
,
.
(Ⅰ)求数列
和数列
的通项公式;
(Ⅱ)将数列
中的第
项,第
项,第
项,……,第
项,……删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
,求数列
的前
项和.
题型:不详
难度:
|
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等差数列
的前10项和为30,则
___________.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
具有性质:①
为整数;②对于任意的正整数
,当
为偶数时,
;当
为奇数时,
.
(1)若
为偶数,且
成等差数列,求
的值;
(2)设
(
且
N),数列
的前
项和为
,求证:
;
(3)若
为正整数,求证:当
(
N)时,都有
.
题型:不详
难度:
|
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