(本题满分12分)已知数列的前项和为,().(Ⅰ)证明数列是等比数列,求出数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和;(Ⅲ)数列中是否存在三项,它们可以构成等差数

(本题满分12分)已知数列的前项和为,().(Ⅰ)证明数列是等比数列,求出数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和;(Ⅲ)数列中是否存在三项,它们可以构成等差数

题型:不详难度:来源:
(本题满分12分)
已知数列的前项和为).
(Ⅰ)证明数列是等比数列,求出数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和
(Ⅲ)数列中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出一组符合条件的项;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)见解析,
(Ⅱ)
(Ⅲ)不存在满足条件的三项.
解析
本题主要考查了数列的递推式的应用,数列的通项公式和数列的求和问题.应熟练掌握一些常用的数列的求和方法如公式法,错位相减法,叠加法等.
(1)把Sn和Sn+1相减整理求得an+1=2an+3,整理出3+an+1=2(3+an),判断出数列{3+an}是首相为6,公比为2的等比数列,求得3+an,则an的表达式可得.
(2)把(I)中的an代入bn,求得其通项公式,进而利用错位相减法求得数列的前n项的和.
(3)设存在满足题意,那么等式两边的奇数和偶数来分析不存在。
解析:(Ⅰ)因为,所以
,所以
所以数列是等比数列,

所以
(Ⅱ)

,①
,②
①-②得,

所以
(Ⅲ)设存在,且,使得成等差数列,


,因为为偶数,为奇数,
所以不成立,故不存在满足条件的三项.
举一反三
数列的首项,前项和为,满足关系,,3,4…)
(1)求证:数列为等比数列;
(2)设数列的公比为,作数列,使.(,3,4…)求
(3)求的值
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如图所示的5×5正方形表格中尚有20个空格,若在每一个空格中填入一个正整数,使得每一行和每一列都成等差数列,则字母所代表的正整数是
A.16B.17C.18D.19

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两个等差数列项和分别为,则=_____.
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在等差数列中, 的值。
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设二次函数,对任意实数恒成立;正数数列满足.
(1)求函数的解析式和值域;
(2)试写出一个区间,使得当时,数列在这个区间上是递增数列,并说明理由;
(3)若已知,求证:数列是等比数列
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