已知数列中,,且()。(I) 求,的值及数列的通项公式;(II) (II)令,数列的前项和为,试比较与的大小;(III)令,数列的前项和为,求证:对任意
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已知数列中,,且()。(I) 求,的值及数列的通项公式;(II) (II)令,数列的前项和为,试比较与的大小;(III)令,数列的前项和为,求证:对任意
题型:不详
难度:
来源:
已知数列
中,
,且
(
)。
(I) 求
,
的值及数列
的通项公式;
(II) (II)令
,数列
的前
项和为
,试比较
与
的大小;
(III)令
,数列
的前
项和为
,求证:对任意
,都有
。
答案
(I)解:当
时,
,(1分)
当
时,
。(2分)
因为
,所以
。(3分)
当
时,由累加法得
,
因为
,所以
时,有
。
即
。
又
时,
,
故
。(5分)
(II)解:
时,
,则
。
记函数
,
所以
。
则
0。
所以
。(7分)
由于
,此时
;
,此时
;
,此时
;
由于
,故
时,
,此时
。
综上所述,当
时,
;当
时,
。(8分)
(III)证明:对于
,有
。
当
时,
。
所以当
时,
。
且
。
故对
,
得证。(10分)
解析
本试题主要是考查了数列的通项公式与求和的综合运用,以及数列与不等式的关系的运用。
(1)利用已知的递推关系得到数列的前几项的值,并整体变形构造等差数列求解通项公式。
(2)利用第一问的结论,结合分组求和的思想和等比数列的求和得到结论。
(3))先分析通项公式的特点,然后裂项求和,证明不等是的成立问题。
举一反三
(本小题满分13分)已知:等差数列{
a
n
}中,
a
1
=1,
S
3
=9,其前
n
项和为
S
n
.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)设
b
n
=,求数列{
b
n
}的前
n
项和
T
题型:不详
难度:
|
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已知
是等差数列,
,
,则该数列的前10项和
A.64
B.100
C.110
D.120
题型:不详
难度:
|
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等差数列
中,若
,则
=
A.15
B.30
C.45
D.60
题型:不详
难度:
|
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在等差数列
中,已知
则
等于( )
A.45
B.43
C.42
D.40
题型:不详
难度:
|
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等差数列
中,
,且
,则
.
题型:不详
难度:
|
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