已知数列{an}满足:(其中常数λ>0,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成

已知数列{an}满足:(其中常数λ>0,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}满足:(其中常数λ>0,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列?若存在,给出r,s,t满足的条件;若不存在,说明理由;
(3)设Sn为数列{an}的前n项和.若对任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立,求实数λ的取值范围.
答案
(1)an=(2n+1)·λn-1  (n∈N*).(2)不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.(3)当0<λ<1时,结论成立. 
解析
本试题主要是考查了数列的通项公式以及数列的求和、和不等式的成立的证明综合运用。
(1)根据已知条件可知利用前n项和与通项公式之间的关系得到通项公式。
(2)因为当λ=4时,an=(2n+1)·4n-1
若存在ar,as,at成等比数列,则[(2r+1)·4r-1] [(2t+1)·4t-1]=(2s+1)2 ·42s-2
整理得(2r+1) (2t+1) 4 r+t -2s=(2s+1)2,可以判定为等比数列。
(3)因为Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1.,需要对于参数λ分情况讨论得到和式的求解,以及不等式的证明。
举一反三
已知数列的前n项和为
(1)证明:数列是等差数列,并求
(2)设,求证:.
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在数列中,,且成等差数列,成等比数列
(1)求,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;
(2)证明:
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已知等差数列的前n项和为,若,且A、B、C三点共线(O为该直线外一点),则_________.
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已知数列中,,且满足
(I)求数列的通项公式;
(II)设为非零整数,),试确定的值,使得对任意,都有成立.
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(本小题满分12分)
已知数列满足:,当时,;对于任意的正整数
.设数列的前项和为.
(Ⅰ)计算,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)求满足的正整数的集合.
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