已知数列{an}满足:(其中常数λ>0,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成
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已知数列{an}满足:(其中常数λ>0,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足:
(其中常数λ>0,n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得a
r
,a
s
,a
t
成等比数列?若存在,给出r,s,t满足的条件;若不存在,说明理由;
(3)设S
n
为数列{a
n
}的前n项和.若对任意n∈N
*
,都有(1-λ)S
n
+λa
n
≥2λ
n
恒成立,求实数λ的取值范围.
答案
(1)a
n
=(2n+1)·λ
n
-1
(n∈N
*
).(2)不存在这样的正整数r,s,t,使得a
r
,a
s
,a
t
成等比数列.(3)当0<λ<1时,结论成立.
解析
本试题主要是考查了数列的通项公式以及数列的求和、和不等式的成立的证明综合运用。
(1)根据已知条件可知利用前n项和与通项公式之间的关系得到通项公式。
(2)因为当λ=4时,a
n
=(2n+1)·4
n
-1
.
若存在a
r
,a
s
,a
t
成等比数列,则[(2r+1)
·4
r
-1
] [(2t+1)
·4
t
-1
]=(2s+1)
2
·4
2s
-2
.
整理得(2r+1) (2t+1) 4
r
+t -2s
=(2s+1)
2
,可以判定为等比数列。
(3)因为S
n
=3+5λ+7λ
2
+…+(2n+1)λ
n
-1
.,需要对于参数λ分情况讨论得到和式的求解,以及不等式的证明。
举一反三
已知数列
的前n项和为
,
(1)证明:数列
是等差数列,并求
;
(2)设
,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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在数列
中,
,且
成等差数列,
成等比数列
。
(1)求
及
,由此猜测
的通项公式,并证明你的结论;
(2)证明:
。
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
的前n项和为
,若
,且A、B、C三点共线(O为该直线外一点),则
_________.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
中,
,且满足
,
.
(I)求数列
的通项公式;
(II)设
为非零整数,
),试确定
的值,使得对任意
,都有
成立.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知数列
,
满足:
,当
时,
;对于任意的正整数
,
.设数列
的前
项和为
.
(Ⅰ)计算
、
,并求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求满足
的正整数
的集合.
题型:不详
难度:
|
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