设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严
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设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…. (1)求a1,a2; (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明. |
答案
(1) a1=. a2= (2)猜想Sn=,n=1,2,3,…. |
解析
(1)先令n=1,则s1-1即a1-1是方程的一个根,因而建立关于a1的方程求出a1的值.同理再利用n=2时,求出a2. (2)由条件可知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,化简得S-2Sn+1-anSn=0, 然后利用n≥2时,an=Sn-Sn-1,把an代入上式,消去an,就找到了sn与sn-1之间的递推关系,求出s1,s2,s3,然后观察规律,归纳出sn,再利用数学归纳法证明即可 (1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=. 当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-, 于是(a2-)2-a2(a2-)-a2=0,解得a2= (2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,S-2Sn+1-anSn=0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1, 代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.①由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=. 由①可得S3=.由此猜想Sn=,n=1,2,3,…. 下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1时已知结论成立. (ii)假设n=k时结论成立,即Sk=,当n=k+1时,由①得Sk+1=,即Sk+1=,故n=k+1时结论也成立. 综上,由(i)、(ii)可知Sn=对所有正整数n都成立. |
举一反三
等差数列中,已知前15项的和,则等于( ).A. | B.12 | C. | D.6 |
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已知数列{}的首项,,则下列结论正确的是( )A.数列是等比数列 | B.数列{}是等比数列 | C.数列是等差数列 | D.数列{}是等差数列 |
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(12分)已知数列是等比数列,首项 (Ⅰ)求数列的通项公式(Ⅱ)若数列是等差数列,且,求数列的通项公式及前项的和 |
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