(本小题满分12分)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等,且a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n对任意的n∈N*都成立,数列{bn+
题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分) 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等,且a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n对任意的n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)是否存在k∈N*,使得bk-ak∈(0,1)?请说明理由. |
答案
(1)an=24-n(n∈N*),bn=n2-7n+14(n∈N*). (2)不存在k∈N*,使得bk-ak∈(0,1).理由略 |
解析
解:(1)已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n(n∈N*).① n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8(n-1)(n∈N*).② ①-②得2n-1an=8,解得an=24-n,在①中令n=1,可得a1=8=24-1, 所以an=24-n(n∈N*).(4分) 由题意b1=8,b2=4,b3=2,所以b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2, ∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6, bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) =8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=n2-7n+14(n∈N*).(8分) (2)bk-ak=k2-7k+14-24-k,当k≥4时,f(k)=(k-)2+-24-k单调递增, 且f(4)=1,所以k≥4时,f(k)=k2-7k+14-24-k≥1. 又f(1)=f(2)=f(3)=0,所以,不存在k∈N*,使得bk-ak∈(0,1).(12分) |
举一反三
(本题满分12分) 已知数列 是首项为1的等差数列,其公差 ,且 , , 成等比数列. (1)求数列 的通项公式; (2)设数列 的前n项和为 ,求 的最大值. |
(12分)已知等差数列![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013002023-36077.gif) (1)求 的通项公式; (2)数列 ,且 ),求证 ; (3)求 通项公式及前n项和 。 |
数列 中, ( 为常数),若平面上三个不重合的点 共线L, 是直线L外一点,且 ,则 等于 ( ) |
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