(Ⅰ)因为点 在函数 的图象上,故 , 所以 .令 ,得 ,所以 ;令 ,得 ,所以 ;令 ,得 ,所以 .由此猜想: . 用数学归纳法证明如下: ① 当 时,有上面的求解知,猜想成立. ② 假设 时猜想成立,即 成立, 则当 时,注意到![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013031724-79785.gif) , 故 , . 两式相减,得 ,所以 . 由归纳假设得, ,故 . 这说明 时,猜想也成立.由①②知,对一切 , 成立 . 另解:因为点 在函数 的图象上, 故 ,所以 ①.令 ,得 ,所以 ;
时 ② 时①-②得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013031729-96641.gif) 令 ,即 与 比较可得 ,解得 .因此![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013031730-55118.gif) 又 ,所以 ,从而 . (Ⅱ)因为 ( ),所以数列 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),…. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号, 故 是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列,且公差为20. 同理,由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列,且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68,所以 .又 =22,所以 =2010. (Ⅲ)因为 ,故 , 所以 . 又 , 故 对一切 都成立,就是
对一切 都成立.……………9分 设 ,则只需 即可. 由于![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013031733-64197.gif) , 所以 ,故 是单调递减,于是 . 令 即 ,解得 ,或 . 综上所述,使得所给不等式对一切 都成立的实数 的取值范围是![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013031724-45603.gif) |