(本小题满分13分)对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列具有“性质”。不论数列是否具有“性质”,如果存在与不是同一数列的,且同

(本小题满分13分)对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列具有“性质”。不论数列是否具有“性质”,如果存在与不是同一数列的,且同

题型:不详难度:来源:
(本小题满分13分)
对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数
具有“性质”。
不论数列是否具有“性质”,如果存在与不是同一数列的,且
时满足下面两个条件:①的一个排列;②数列具有“性质”,则称数列具有“变换性质”。
(I)设数列的前项和,证明数列具有“性质”;
(II)试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,…,11是否具有“变换性质”,具有此性质的数列请写出相应的数列,不具此性质的说明理由;
(III)对于有限项数列:1,2,3,…,,某人已经验证当时,
数列具有“变换性质”,试证明:当”时,数也具有“变换性质”。
答案
(I)证明见解析。
(II)数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”,
数列为3,2,1,5,4。
数列1,2,3,…,11不具有“变换P性质”
因为11,4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1,2,3,…,11不具有“变换P性质”
(III)证明见解析。
解析
(I)当时,                                      …………1分
    …………2分
。                                             …………3分
所以是完全平方数,
数列具有“P性质”                                                                   …………4分
(II)数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”,                              …………5分
数列为3,2,1,5,4                                                            …………6分
数列1,2,3,…,11不具有“变换P性质”     …………7分
因为11,4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1,2,3,…,11不具有“变换P性质”                             …………8分
(III)设
注意到

由于
所以


所以
                                                                              …………10分
因为当时,数列具有“变换P性质”
所以1,2,…,4m+4-j-1可以排列成
使得都是平方数                                                  …………11分
另外,可以按相反顺序排列,
即排列为
使得
                              …………12分
所以1,2,可以排列成

满足都是平方数.
即当时,数列A也具有“变换P性质”…………13分
举一反三
在数列在中,,其中为常数,则       
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已知数列的前项和为,且满足
(Ⅰ)求, ,并猜想的表达式;
(Ⅱ)用数学归纳法证明所得的结论。
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记等差数列的前项和为,若,则该数列的公差(   )
A.2B.3C.6D.7

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若等差数列的前项的和为,前项的和为,则它的前项的和为(  )
A.B.C.D.

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已知数列满足
(1) 证明:
(2) 比较an­的大小;
(3) 是否存在正实数c,使得,对一切恒成立?若存在,则求出c的取值范围;若不存在,说明理由.
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