已知数列的前项和为，且满足， （Ⅰ）求，, ，并猜想的表达式；（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论。

题型：不详难度：来源：

已知数列的前项和为，且满足，
（Ⅰ）求，, ，并猜想的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论。

答案

（Ⅰ） a＝, a＝, a＝,猜测 a＝2－ 
（Ⅱ）证明见解析 

解析

（Ⅰ）a＝, a＝, a＝,    ---------3分 
猜测 a＝2－                   ---------------6分
（Ⅱ）①由（1）已得当n＝1时，命题成立；      --------8分
②假设n＝k时,命题成立，即 a＝2－,      
当n＝k＋1时, a+ a＋……a＋a＋a＝2(k＋1)＋1, ----------10分
且a+ a＋……＋a＝2k＋1－a
∴2k＋1－a＋2 a＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2 a＝2＋2－,  a＝2－,                 
即当n＝k＋1时,命题成立.                      ----12分
根据①②得n∈N+  , an＝2－都成立      -----13分