已知Sn为数列{an}的前n项和,a=(Sn,1),b=(-1,2an+2n+1),a⊥b.(Ⅰ)求证:{an2n}为等差数列;(Ⅱ) 若bn=n-2013n+
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已知Sn为数列{an}的前n项和,a=(Sn,1),b=(-1,2an+2n+1),a⊥b.(Ⅰ)求证:{an2n}为等差数列;(Ⅱ) 若bn=n-2013n+
题型:不详
难度:
来源:
已知S
n
为数列{a
n
}的前n项和,
a
=(S
n
,1),
b
=
(-1,2
a
n
+
2
n+1
)
,
a
⊥
b
.
(Ⅰ)求证:
{
a
n
2
n
}
为等差数列;
(Ⅱ) 若
b
n
=
n-2013
n+1
a
n
,问是否存在n
0
,对于任意k(k∈N
*
),不等式
b
k
≤
b
n
0
成立.
答案
(Ⅰ)证明:∵
a
⊥
b
,
a
=(S
n
,1),
b
=
(-1,2
a
n
+
2
n+1
)
,
∴
-
S
n
+2
a
n
+
2
n+1
=0
,
∴
-
S
n+1
+2
a
n+1
+
2
n+2
=0
两式相减,整理可得
a
n+1
=2
a
n
-
2
n+1
,∴
a
n+1
2
n+1
=
a
n
2
n
-1
,
又n=1时,
-
S
1
+2
a
1
+
2
1+1
=0
,∴a
1
=-4,∴
a
1
2
=-2
∴
{
a
n
2
n
}
是以-2为首项,-1为公差的等差数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
a
n
2
n
=-2-(n-1)=-(n+1)
,
∴
b
n
=(2013-n)
2
n
,
令b
n+1
≥b
n
,
∴2
n+1
≥2
n
,
∴n≤2011
∴b
n
的最大值为
b
2011
=
b
2012
=
2
2012
,
∴存在n
0
=2011或2012,对于任意k(k∈N
*
),不等式
b
k
≤
b
n
0
成立.
举一反三
已知等比数列{a
n
}中,a
1
=2,且a
1
,a
2
+1,a
3
成等差数列,
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{na
n
}的前n项的和.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
1
>0,3a
8
=5a
13
,则前n项的和S
n
中最大的是( )
A.S
10
B.S
11
C.S
20
D.S
21
题型:不详
难度:
|
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设数列{a
n
}的各项均为正数,前n项和为S
n
,已知
4
S
n
=
a
2n
+2
a
n
+1(n∈
N
*
)
(1)证明数列{a
n
}是等差数列,并求其通项公式;
(2)是否存在k∈N
*
,使得
S
k
2
=
a
2k+2048
,若存在,求出k的值;若不存在请说明理由;
(3)证明:对任意m、k、p∈N
*
,m+p=2k,都有
1
S
m
+
1
S
p
≥
2
S
k
.
题型:闵行区一模
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n+1
=1-a
n
(n∈N
∗
),S
n
为数列的前n项和,则S
2006
-2S
2007
+S
2008
为( )
A.5
B.-1
C.-3
D.2
题型:不详
难度:
|
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设抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点.
(1)若p=2,求线段AF中点M的轨迹方程;
(2)若直线AB的方向向量为
n
=(1,2)
,当焦点为
F(
1
2
,0)
时,求△OAB的面积;
(3)若M是抛物线C准线上的点,求证:直线MA、MF、MB的斜率成等差数列.
题型:宝山区一模
难度:
|
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