已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N+)(1)求a2,a3的值;(2)是否存在实数λ,使得数列{an+λ2n}为等差数列,若
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已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N+)(1)求a2,a3的值;(2)是否存在实数λ,使得数列{an+λ2n}为等差数列,若
题型:广州一模
难度:
来源:
已知数列{a
n
}中,a
1
=5且a
n
=2a
n-1
+2
n
-1(n≥2且n∈N
+
)
(1)求a
2
,a
3
的值;
(2)是否存在实数λ,使得数列
{
a
n
+λ
2
n
}
为等差数列,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由a
n
=2a
n-1
+2
n
-1(n≥2)⇒a
2
=2a
1
+2
2
-1=13⇒a
2
=13,
同理可得a
3
=33,(3分)
(2)假设存在一个实数λ符合题意,则
a
n
+λ
2
n
-
a
n-1
+λ
2
n-1
必为与n无关的常数
∵
a
n
+λ
2
n
-
a
n-1
+λ
2
n-1
=
a
n
-2
a
n-1
-λ
2
n
=
2
n
-1-λ
2
n
=1-
1+λ
2
n
(5分)
要使
a
n
+λ
2
n
-
a
n-1
+λ
2
n-1
是与n无关的常数,则
1+λ
2
n
=0
,得λ=-1
故存在一个实数λ=-1,使得数列
{
a
n
+λ
2
n
}
为等差数列(13分)
举一反三
设S
n
、T
n
分别是等差数列{a
n
}、{b
n
}的前n项和,
S
n
T
n
=
7n+2
n+3
,则
a
5
b
5
=______.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,S
10
=120,那么a
1
+a
10
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}中,各项均为正数,且2a
1
,a
3
,4a
2
成等差数列,则
a
6
+
a
7
a
4
+
a
5
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知a>0,b>0,a,b的等差中项是
1
2
,且α=a+
1
a
,β=b+
1
b
,求α+β的最小值.
题型:不详
难度:
|
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对于数列a
n
,(1)已知a
n
是一个公差不为零的等差数列,a
5
=6.
①当a
3
=2时,若自然数n
1
,n
2
,…,n
t
,…满足5<n
1
<n
2
<…<n
t
<…,且a
3
,a
5
,a
n1
,a
n2
,…,a
nt
,…是等比数列,试用t表示n
t
;
②若存在自然数n
1
,n
2
,…,n
t
,…满足5<n
1
<n
2
<…<n
t
<…,且a
3
,a
5
,a
n1
,a
n2
,…,a
nt
,…构成一个等比数列.求证:当a
3
是整数时,a
3
必为12的正约数.
(2)若数列a
n
满足a
n+1
a
n
+3a
n+1
+a
n
+4=0,且a
2009
小于数列a
n
中的其他任何一项,求a
1
的取值范围.
题型:江苏模拟
难度:
|
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