设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=1an•an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
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设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=1an•an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
题型:不详
难度:
来源:
设正数数列{a
n
}的前n项和S
n
满足
S
n
=
1
4
(
a
n
+1
)
2
.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)设
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
答案
(Ⅰ)当n=1时,
a
1
=
S
1
=
1
4
(
a
1
+1
)
2
,
∴a
1
=1.(2分)
∵
S
n
=
1
4
(
a
n
+1
)
2
,①
∴
S
n-1
=
1
4
(
a
n-1
+1
)
2
(n≥2).②
①-②,得
a
n
=
S
n
-
S
n-1
=
1
4
(
a
n
+1
)
2
-
1
4
(
a
n-1
+1
)
2
,
整理得,(a
n
+a
n-1
)(a
n
-a
n-1
-2)=0,(5分)
∵a
n
>0
∴a
n
+a
n-1
>0.
∴a
n
-a
n-1
-2=0,即a
n
-a
n-1
=2(n≥2).(7分)
故数列{a
n
}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴a
n
=2n-1.(9分)
(Ⅱ)∵
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,(11分)
∴T
n
=b
1
+b
2
+b
n
=
1
2
(1-
1
3
)+
1
2
(
1
3
-
1
5
)++
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)
=
n
2n+1
. (14分)
举一反三
若一个三角形的三个内角成等差数列,且其中一角为28°,则其中最大角的度数为______.
题型:不详
难度:
|
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设{a
n
}是公差大于零的等差数列,已知a
1
=2,
a
3
=
a
2
2
-10
.
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设{b
n
}是以函数y=4sin
2
πx的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列{a
n
-b
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}中,a
1
=-8,a
2
=-6.若将a
1
,a
4
,a
5
都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项的平均数的倒数为
1
2n+1
,
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)设
c
n
=
a
n
2n+1
,试判断并说明c
n+1
-c
n
(n∈N
*
)的符号;
(3)设函数
f(x)=-
x
2
+4x-
a
n
2n+1
,是否存在最大的实数λ,当x≤λ时,对于一切自然数n,都有f(x)≤0.
题型:不详
难度:
|
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设数列{a
n
}{b
n
}的各项都是正数,S
n
为数列{a
n
}的前n项和,且对任意n∈N
*
.都有
a
n
2
=2
S
n
-
a
n
,b
1
=e,
b
n+1
=
b
n
2
.c
n
=a
n
•lnb
n
(e是自然对数的底数,e=2.71828…)
(1)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(2)求数列{c
n
}的前n项和T
n
;
(3)试探究是否存在整数λ,使得对于任意n∈N
*
,不等式
5(n-1)
2
S
n
-1
<λ<
4(
T
n
-1)
(n-1)n(n+1)
恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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