已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前 n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{
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已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前 n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}是各项均不为0的等差数列,公差为d,S
n
为其前 n项和,且满足
a
2n
=
S
2n-1
,n∈N
*
.数列{b
n
}满足
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{b
n
}的前n项和T
n
;
(3)若对任意的n∈N
*
,不等式
λ
T
n
<n+8-(-1
)
n
恒成立,求实数λ的取值范围.
答案
(1)设等差数列{a
n
}的公差为d,首项为a
1
,
在a
n
2
=S
2n-1
中,令n=1,n=2,
得
a
1
2
=
S
1
a
2
2
=
S
3
,即
a
1
2
=
a
1
(
a
1
+d
)
2
=3
a
1
+3d
,(4分)
解得a
1
=1,d=2,
∴a
n
=2n-1.
(2)
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
),
∴T
n
=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
n
2n+1
.
(3)①当n为偶数时,要使不等式λT
n
<n+8-(-1)
n
恒成立,
即需不等式λ<
(n+8)(2n+1)
n
=2n+
8
n
+17恒成立.
∵2n+
8
n
≥8,当且仅当n=2时取“=”,
∴λ<25(8分)
②当n为奇数时,要使不等式λT
n
<n+8-(-1)
n
恒成立,即需不等式
λ<
(n-8)(2n+1)
n
=2n-
8
n
-15恒成立.
∵2n-
8
n
随n增大而增大,
∴n=1时,2n-
8
n
取得最小值-6.
∴λ<-21.(10分)
综合①、②可得λ的取值范围是λ<-21.
举一反三
已知点(1,
1
3
)是函数f(x)=a
x
(a>0),且a≠1)的图象上一点,等比数列{a
n
}的前n项和为f(n)-c,数列{b
n
}(b
n
>0)的首项为c,且前n项和S
n
满足S
n
-S
n-1
=
S
n
+
S
n-1
(n≥2).
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)若数列{
1
b
n
b
n+1
}前n项和为T
n
,问T
n
>
1000
2009
的最小正整数n是多少?
题型:不详
难度:
|
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已知某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所示,如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么到第______年年底该区的绿化覆盖率可超过35.0%.
年 份
第1年年底
第2年年底
第3年年底
第4年年底
绿化覆盖率
22.2%
23.8%
25.4%
27.0%
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且
a
1
=1+
2
,
S
3
=9+3
2
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式与前n项和S
n
;
(2)设
b
n
=
a
n
-
2
(n∈
N
*
)
,{b
n
}中的部分项
b
k
1
,
b
k
2
,…
b
k
n
恰好组成等比数列,且k
1
=1,k
4
=63,求该等比数列的公比与数列{k
n
}的通项公式.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,对一切正整数n,点P
n
(n,S
n
)都在函数f(x)=x
2
+2x的图象上.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和为B
n
;
(3)设
c
n
=
t
a
n
(t>0)
,数列{c
n
}的前n项和T
n
,求
lim
n→∞
T
n+1
T
n
的值.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
} 的前n 项和为
S
n
=
n
2
,则其通项a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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