已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1an•

已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1an•

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=
1
anan+1
,求数列{bn}的前n项和为Bn
(3)设cn=tan(t>0),数列{cn}的前n项和Tn,求
lim
n→∞
Tn+1
Tn
的值.
答案
(本题满分(14分),第(1)小题(5分),第(2)小题(5分),第(3)小题4分))
(1)因为点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上
所以Sn=n2+2nn∈N*------------------------(1分)
当n=1时,a1=S1=1+2=3
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1(*)
令n=1,a1=2+1=3,也满足(*)式-------------------(3分)
所以,数列{an}的通项公式是an=2n+1.------------------------(4分)
(2)bn=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
)
------------------------(6分)
Bn=
1
2
[(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n+1
-
1
2n+3
)]
=
1
2
(
1
3
-
1
2n+3
)=
n
6n+9
---------------(8分)
(3)因为cn=t2n+1,所以
cn+1
cn
=t2

则数列{cn}成公比为等比数列t2的等比数列.
∵t>0
当t=1时,Tn=n;t>0,t≠1,Tn=
t3(1-t2n)
1-t2
;------------------------(10分)
当t=1时,
lim
n→∞
Tn+1
Tn
=
lim
n→∞
n+1
n
=1

当t>1时,
lim
n→∞
Tn+1
Tn
=
lim
n→∞
1-t2n+2
1-t2n
=t2

当0<t<1时,
lim
n→∞
Tn+1
Tn
=
lim
n→∞
1-t2n+2
1-t2n
=1

lim
n→∞
Tn+1
Tn
=





1,0<t≤1
t2,t>1
-------------(14分)
举一反三
数列{an} 的前n 项和为Sn=n2,则其通项an=______.
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若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n,(n∈N*),则an=______.
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等差数列{an}、{bn}的公差都不为零,若
lim
n→∞
an
bn
=3
,则
lim
n→∞
b1+b2+…bn
na4n
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在公差非零的等差数列{an}中,a1=4,且a1,a5,a7成等比数列,则该数列{an}的通项公式为______.
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已知{an} 为等差数列,且a2=


2
-1
,a4=


2
+1
,那么a10=______.
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