数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且S9=135，a3、a4、a12成等比数列，(1)求{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使仍为数

题型：湖北省模拟题难度：来源：

数列{a_n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S_n，且S₉=135，a₃、a₄、a₁₂成等比数列，
(1)求{a_n}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使仍为数列{a_n}中的一项？若存在，求出满足要求的所有正整数m；若不存在，说明理由。

答案

解：(1)设数列{a_n}的公差为d≠0，则，
∴，①
又∵a₃、a₄、a₁₂成等比数列，
∴，即，
化简，得，②
由①②，得：，
∴。
(2)由于，
∴，
设，则，
即，
由于k、m为正整数，所以7必须能被7m-13整除，
∴7m-13=1，-1，7，-7，
∴m=2，k=10，
故存在唯一的正整数m=2，使仍为数列{a_n}中的一项．