试题分析:(1)将已知an+1=取倒数可得: +1进而利用待定系数法将此式转化为: +=3从而可证数列 {+ }是等比数列,然后应用等比数的通项公式可求得数列{an}的通项an; (2)由(1)及已知可得bn=(3n-1)·=n· n-1,此数列是由一个等差数列{n}与一个等比数列{ n-1}对应项的积构成的一个数列,此数列的前n项和应用乘公比错位相减法就可求得其前n项和Tn;然后研究数列{Tn}的单调性可知:{Tn}为递增数列,最后通过讨论n的奇偶性及不等式恒成立的知识就可求得λ的取值范围.注意不等式:对一切n∈N*恒成立等价于,同理:不等式:对一切n∈N*恒成立等价于. 试题解析:(1)由题知,+1, . .1分 ∴+=3, 2分 ∴数列 {+ }是以3为公比以=为首项的等比数列。 ∴+=·3n-1=,∴an= 5分 (2)由(1)知,bn=(3n-1)·=n· n-1, Tn=1×1+2× 1+3× 2+…+n· n-1, 6分 Tn=1×+2× 2+…+(n-1) n-1+n n, 两式相减得, Tn=1++=2-, ∴Tn=4- 10分 ∵Tn+1-Tn=>0, ∴{Tn}为递增数列 .12分 ①当n为正奇数时,-λ<Tn对一切正奇数成立, ∵(Tn)min=T1=1,∴-λ<1,∴λ>-1; ②当n为正偶数时,λ<Tn对一切正偶数成立, ∵(Tn)min=T2=2,∴λ<2. 综合①②知,-1<λ<2 .14分 |