(1)f′(x)=-, 所以当f′(x)>0,即ln(x+1)+1<0,即ln(x+1)<-1,所以x+1<,即-1<x<-1,故函数在区间(-1,-1)内单调递增; 当f′(x)<0,即-1<x<0或x>0,所以函数在区间(-1,0)和(0,+∞)内单调减. 故函数的单调增区间为(-1,),单调减区间为(-1,0)和(0,+∞). (2)由f′(x)=-=0可得x=-1, 由(1)可得f(x)在(-1,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调减, 所以在区间(-1,0)上,当x=-1时,f(x)取得极大值即最大值为f(-1)=-e. 又因为当x从-1的右边靠近-1时,0<x+1<1,所以x→-1时f(x)→-∞;当x从0的左边靠近0时,f(x)→-∞; 所以当x∈(-1,0)时,f(x)∈(-∞,-e]. 在区间(0,+∞)上f(x)是减函数,并且f(x)>0, 当x从0的右边靠近0时,f(x)→+∞;当x→+∞时,由函数的解析式可得f(x)→0. 所以当x∈(0,+∞)时,f(x)∈(0,+∞). 故f(x)的值域为(-∞,-e]∪(0,+∞) (3)∵-1<x<0,∴0<x+1<1,从而1<, 由题意可得:>(x+1)m对任意x∈(-1,0)恒成立, 所以两边取自然对数得:ln2>mln(x+1) 所以m>,对x∈(-1,0)恒成立,则m大于的最大值, 由(2)可得当x∈(-1,0)时,f(x)=∈(-∞,-e], 所以取得最大值为-eln2,所以m>-eln2. 所以实数m的取值范围为(-eln2,+∞). |