对任意实数列，定义它的第项为,假设是首项是公比为的等比数列.（1）求数列的前项和；（2）若，，.①求实数列的通项；②证明：.

题型：不详难度：来源：

对任意实数列

，定义

它的第

项为

,假设

是首项是

公比为

的等比数列.
（1）求数列

的前

项和

；
（2）若

，

.
①求实数列

的通项

；
②证明：

答案

（1）

；（2）①

；②详见解析.

解析

试题分析：本题以新定义的模式考察了等比数列的通项公式和前n项和以及不等式的放缩法．（1）由

是首项是

公比为

的等比数列，故实数列

确定，即

，再结合

的定义，得

，然后求和即可（需分类讨论）；（2）由

，

.，可确定

，利用累加法可求

；和式

可看作数列

的前n项和，故先求其通项公式，得

，因前n项和不易直接求出，故可考虑放缩法，首先看不等式右边，可想到证明每项都小于

，由

，进而可证明右面不等式，再考虑不等式左边，

，因为

，故

，进而求和可证明．
试题解析：（1）令

这里

是公比为

的等比数列.

，
当

时，

，

，. 2分
当

时，

是公比为

，首项为

的等比数列；.

. 4分

综上

. 6分
（2）①由题设

，

叠加可得

（

）. 8分
②

. 10分
又

，

即

，

. 12分

即

. 13分

举一反三

设等比数列

满足公比

,且数列

中任意两项之积也是该数列的一项.若

，则

的所有可能取值之和为_______________.

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在

个实数组成的

行

列数表中，先将第一行的所有空格依次填上

，

，再将首项为

公比为

的数列

依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规律填写其它空格

	第1列	第2列	第3列	第4列	第列
第1行
第2行
第3行
第4行

第行

（1）设第2行的数依次为

.试用

表示

的值；
（2）设第3行的数依次为

，记为数列

.
①求数列

的通项

；
②能否找到

的值使数列

的前

项

（

）成等比数列？若能找到，

的值是多少？若不能找到，说明理由.

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等比数列

中,

前三项和为S3＝27，则公比q的值是( )

A．1

B．－

C．1或－

D．－1或－

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学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A, B两种菜可供选择。调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有

改选B菜;而选B菜的，下星期一会有

改选A菜。用

分别表示第

个星期选A的人数和选B的人数.
⑴试用

表示

，判断数列

是否成等比数列并说明理由;
⑵若第一个星期一选A种菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人?

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已知数列

满足

，

，定义：使乘积

为正整数的k

叫做“简易数”.则在[3,2013]内所有“简易数”的和为 .

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