已知数列的前项和满足:(为常数,且). (1)求的通项公式;(2)设,若数列为等比数列,求的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设,数列的前项和为 ,求证:.

已知数列的前项和满足:(为常数,且). (1)求的通项公式;(2)设,若数列为等比数列,求的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设,数列的前项和为 ,求证:.

题型:不详难度:来源:
已知数列的前项和满足:为常数,且). 
(1)求的通项公式;
(2)设,若数列为等比数列,求的值;
(3)在满足条件(2)的情形下,设,数列的前项和为 ,求证:
答案
(1);(2);(3)证明过程详见解析.
解析

试题分析:本题主要考查数列的通项公式和数列求和问题,考查学生的计算能力和分析问题的能力以及推理论证的能力.第一问,是由;第二问,先把第一问的结论代入,整理出表达式,已知为等比数列,所以用数列的前3项的关系列式求;第三问,把第二问的结果代入,化简表达式,本问应用了放缩法和分组求和的方法.
试题解析:(1)
时,
,即是等比数列. ∴;                4分
(2)由(Ⅰ)知,,若为等比数列,
则有
,解得,               7分
再将代入得成立, 所以.               8分
(3)证明:由(Ⅱ)知,所以

,                        9分

所以,               12分
从而

.                        14分;2.等比数列的通项公式;3.等比中项;4.放缩法;5.分组求和.
举一反三
已知为等比数列,是它的前项和。若,且的等差中项为,则=       .
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离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则 (     )
A.B.C.D.

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已知数列是各项均为正数的等比数列,=1,=4,则=(   )
A.20B.32C.80D.

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已知等比数列单调递增,
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若,求的最小值
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设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则(   )
A.B.C.D.

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