对于数列{an},若存在一个常数M,使得对任意的n∈N*,都有|an|≤M,则称{an}为有界数列,(1)判断an=2+sinn是否为有界数列,并说明理由;(2
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对于数列{an},若存在一个常数M,使得对任意的n∈N*,都有|an|≤M,则称{an}为有界数列,(1)判断an=2+sinn是否为有界数列,并说明理由;(2
题型:重庆市模拟题
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对于数列{a
n
},若存在一个常数M,使得对任意的n∈N*,都有|a
n
|≤M,则称{a
n
}为有界数列,
(1)判断a
n
=2+sinn是否为有界数列,并说明理由;
(2)是否存在正项等比数列{a
n
},使得{a
n
}的前n项和S
n
构成的数列{S
n
}是有界数列?若存在,求数列{a
n
}的公比q的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)判断数列
(n≥2)是否为有界数列,并证明.
答案
解:(1)因为1≤a
n
=2+sinn≤3,所以{a
n
}为有界数列;
(2)设公比为q,当0<q<1时,
,
则正数数列{S
n
}满足
,故为有界数列;
当q=1时,S
n
=na
1
,故为无界数列;
当q>1时,S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
>na
1
,此时为无界数列;
综上,当且仅当0<q<1时,{S
n
}为有界数列。
(3){a
n
}为无界数列,证明如下:
,
∴
,
∴
,
∴
,
故当n无限增大时,a
n
也无限增大,所以{a
n
}为无界数列。
举一反三
某人为了观看2010年南非足球世界杯,从2006年起,每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱(元)的总数为
[ ]
A.a(1+p)
4
B.a(1+p)
5
C.
[(1+p)
4
-(1+p)]
D.
[(1+p)
5
-(1+p)]
题型:同步题
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某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,则此科研单位共拿出( )万元资金进行奖励。
题型:同步题
难度:
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等比数列{a
n
}的公比q>0,已知a
2
=1,a
n+2
+a
n+1
=6a
n
,则{a
n
}的前4项和S
4
=( )。
题型:同步题
难度:
|
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对于数列{a
n
},定义数列{a
n+1
-a
n
}为数列{a
n
}的“差数列”,若a
1
=2,{a
n
}的“差数列”的通项为2
n
,则数列{a
n
}的前n项和S
n
=( )。
题型:同步题
难度:
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已知数列{a
n
}共10项,其中a
n
=
,则前k项和大于
的概率是( )。
题型:浙江省期末题
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